Question

如图l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体．
（I）求证：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F在什么位置时，能使折起后的几何体中EF∥平面AMN，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）由题意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，从而可得EF∥MN，继而有EF∥平面AMN．
证明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E⊂面A′EF，A′F⊂面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．                             
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．   
证明如下：当点F为BC的中点时，
在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC，
即在图（2）中有EF∥MN．                   
又EF⊄面A′MN，MN⊂面A′MN，
所以EF∥面A′MN．