Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线与x轴交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为，求证：；
（2）设直线FA，FB的斜率分别为k_FA，k_FB，探究k_FA与k_FB的关系并说明理由．

Answer

（1）由，知直线l的方程为，由，得，由此能够证明．
（2）设直线l的方程为：y=k（x+），k≠0，由，得ky2-2px+kp2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=p2，，，由此能够推导出kFA与kFB互为相反数．
【解析】
（1）∵，
∴直线l的方程为，
由，
消去x，得，
解得，B（），
而F（），
故，
，
∴，
（2）∵过Q点的直线l交抛物线于A、B两点，
∴直线l的方程为：y=k（x+），k≠0，
由，
消去x，得ky2-2px+kp2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=p2，
，，
∴===-kFB．
∴kFA与kFB互为相反数．