Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*）
（1）求出所有使数列{a_n+1+λa_n}成等比数列的λ值，并说明理由．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）数列{an+1+λan}成等比数列，求出前3项，利用等差数列的性质，直接求出λ的值．
（2）利用（1）的结论，得到方程组，然后求数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）因为数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*），
{an+1+λan}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ
依题意得（7+λ）2=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n≥2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
（2）由（1）{an+1+λan}是等比数列，
{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
得an+1+2an=15×3n-1，…①
{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
an+1-3an=-10×（-2）n-1…②
以上①-②得an=3n-（-2）n．