Question

已知a＞0，函数f（x）=，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤； ②若0＜x₁＜，则x₁＜x₂＜2x₁．

Answer

（1）通过求解函数的导函数，利用函数导数的几何意义求直线方程是解决本题的关键，注意点斜式方程的运用；
（2）首先求出l与x轴交点，然后运用作差比较法证明①，注意二次问题配方法的应用，将②进行等价变形是解决本题的关键，注意对两根进行综合变形和转化、作差法比较大小的运用．
【解析】
（1）依题知，得：f′（x）=-，根据点斜式可得l的方程为y-，
整理得直线l的方程是 ．
（2）证明：由（1）得 x2=x1（2-ax1）
①由于 0＜x1＜，所以ax1＜2，x2=x1（2-ax1）＞0
又x2-=x1（2-ax1）-=，所以，0＜x2≤；
②因为 x2-x1=x1（2-ax1）-x1=x1-ax12=x1（1-ax1），且0＜x1＜，，所以1-ax1＞0，即x1＜x2．
又x2-2x1=x1（2-ax1）-2x1=-ax12＜0，所以 x2＜2x1，
故当0＜x1＜，则x1＜x2＜2x1．