Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是CC₁上一点，且CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求平面ADF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值．

Answer

（1）根据已知中D是BC的中点，我们可得AD⊥面CC1B1B，进而AD⊥B1F，FD⊥B1F，结合线面垂直的判定定理即可得到B1F⊥平面ADF；
（2）延长FD、B1B交于G，则AG为所求二面角的棱，过B1作B1H⊥AG，且B1H与AG交于H，可得∠B1HF为所求二面角的平面角，解三角形B1HF即可得到平面ADF与平面AA1B1B所成角的正弦值．
证明：（1）因为AB=AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC．
又侧面CC1B1B⊥平面ABC，所以AD⊥面CC1B1B
又B1F⊂面CC1B1B，所以AD⊥B1F
在Rt△B1C1F中，tan∠C1B1F=，在Rt△DCF中 tan∠CFD=，
所以∠C1B1F=∠CFD，∠C1FB1+∠CFD=-∠C1B1F+∠CFD=，∠B1FD=π-（∠C1FB1+∠CFD）=
即FD⊥B1F，所以B1F⊥平面ADF；．…（6分）
【解析】
（2）延长FD、B1B交于G，则AG为所求二面角的棱．由Rt△FCD≌Rt△GBD得：CF=GB=2a．
过B1作B1H⊥AG，且B1H与AG交于H，又 B1F⊥平面ADF，FH⊥AG，
∠B1HF为所求二面角的平面角．
由Rt△ABG和Rt△B1HD相似得：B1H=．又B1F==，所以 sin∠B1HF=．
即所求二面角的正弦值是．…（12分）