Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F、T、M、P满足，，．
（Ⅰ）当t变化时，求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F的直线交曲线C于A，B两点，求证：直线TA、TF、TB的斜率依次成等差数列．

Answer

（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），依据题意可推断出M是线段FT的中点，则M的坐标可推断出，进而利用，求得x，y和t的关系式；同时利用求得t和y的另一关系式，最后消去t即可求得x和y的关系．
（Ⅱ）设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y1+y2和2y1y2，进而表示出y12+y22，进而化简k1+k2得2k，判断出k1，k，k2成等差数列．
【解析】
（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），
由，得点M是线段FT的中点，则，，
又，
由，得，①
由，得（-1-x）×0+（t-y）×1=0，∴t=y②
由①②消去t，得y2=4x即为所求点P的轨迹C的方程
（Ⅱ）证明：设直线TA，TF，TB的斜率依次为k1，k，k2，并记A（x1，y1），B（x2，y2），
则
设直线AB方程为x=my+1，得y2-4my-4=0，∴，
∴y12+y22=（y1+y2）2-2y1y2=16m2+8，
∴
=
=
=-t=2k
∴k1，k，k2成等差数列