Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁和F₂，且点A（-，0），B（，0）在椭圆C上，又．
（1）求焦点F₂的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|，知|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=2，故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．由此能求出轨迹方程．
（2）由，得方程（4-k2）x2-2kbx-（b2+4）=0有两个正根x1，x2．所以，由此能求出b的取值范围．
【解析】
（1）|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|，
∴|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：，
∵2a=2，
∴a=1，b2=c2-a2=4．
故轨迹方程为．…（6分）
（2）由，消去y整理，得
方程（4-k2）x2-2kbx-（b2+4）=0有两个正根x1，x2．
∴，
设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件知x1x2+y1y2=0．
而y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2+b2，
∴（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
即，
整理得3b2=4（k2+1），即，
∴b2-k2+4＞0，
即显然成立．
∴
而k＞0，∴b＜0．
∴．
∴．
故b的取值范围为（-∞，-）．…（13分）