Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线弧AB上的动点．
（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；
（2）求S_△ABM的最大值．

Answer

（1）先联立直线方程和抛物线方程，得到x1+x2的值，再根据抛物线定义，得到焦点弦的弦长公式，
代入并解得p，从而求得抛物线的方程为y2=4x．
（2）设，根据直线AB的方程得到用y和p表示的点M到AB的距离d．又根据点M在直线AB的上方
解得y的范围，即求出了d的最大值，再代入面积公式，可求得S△ABM的最大值．
【解析】
（1）由条件知，则，
消去y得：，
则x1+x2=3p，由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x．
（2）由（1）知|AB|=4p和，设，
则M到AB的距离为：，
因点M在直线AB的上方，所以
则
由知
所以，则当y=p时，
则