Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0），M为椭圆上的一个动点，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点．当MF₂⊥F₁F₂时，原点O到直线MF₁的距离为|OF₁|．
（1）求a，b满足的关系式；
（2）当点M在椭圆上变化时，求证：∠F₁MF₂的最大值为；
（3）设圆x²+y²=r²（0＜r＜b），G是圆上任意一点，过G作圆的切线交椭圆于Q₁，Q₂两点，当OQ₁⊥OQ₂时，求r的值．（用b表示）

Answer

（1）设F1（-c，0），F2（c，0），A（a，c），B（0，b），因为MF2⊥F1F2，所以点M坐标为 ，由此能够求出a=．
（2）设MF1=m，MF2=n，m+n=2a，由余弦定理得=．因为，所以cos∠F1MF2≥0，由此能够证明：∠F1MF2的最大值为．
（3）设G（rcosθ，rsinθ）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q1（x1，x2），Q2（x2，y2），则切线l的法向量为（rcosθ，rsinθ），直线l的方程为xcosθ+ysinθ-r=0，联立方程组，能够推导出r=．
【解析】
（1）设F1（-c，0），F2（c，0），A（a，c），B（0，b），
因为MF2⊥F1F2，所以点M坐标为 ，
所以MF1方程b2x-2axy+b2c=0，
O到MF1距离，整理得2b4=a2c2，
所以解得a=．
（2）设MF1=m，MF2=n，m+n=2a，
由余弦定理得
=
=．
因为，
所以cos∠F1MF2≥0，
当且仅当m=n=a=，cos∠F1MF2=0，
由三角形内角及余弦单调性知有最大值．
（3）设G（rcosθ，rsinθ）圆上任意一点，过G点的切线交该椭圆于Q1（x1，x2），Q2（x2，y2），
则切线l的法向量为（rcosθ，rsinθ），直线l的方程为xcosθ+ysinθ-r=0，
联立方程组，
①cosθ=0时，|OG|=|Q1G|=|Q2G|，所以r=，即：r=；
②cosθ≠0时，由，
得（1+cos2θ）y2-2rsinθy+r2-2b2cos2θ=0，
所以，
因为x1x2cos2θ=r2-（y1+y2）rsinθ+sin2θ，
由OQ1⊥OQ2得，x1x2cos2θ+y1y2cos2θ=r2-（y1+y2）rsinθ+y1y2=0
所以3r2cos2θ=2b2cos2θ，从而r=；
由①、②知，r=．