Question

某公司生产某种消防安全产品，年产量x台（0≤x≤100，x∈N）时，销售收入函数R（x）=3000x-20x²（单位：百元），其成本函数满足C（x）=500x+b（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．
（1）求利润函数P（x）；
（2）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？
（3）在经济学中，对于函数f（x），我们把函数f（x+1）-f（x）称为函数f（x）的边际函数，记作Mf（x）．对于（1）求得的利润函数P（x），求边际函数MP（x）；并利用边际函数MP（x）的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）

Answer

（1）由题意，x=0，b=4000，所以C（x）=500x+4000，P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x2-500x-4000=-20x2+2500x-4000，0≤x≤100．
（2）P（x）=，（0≤x≤100，x∈N），由此能求出最大利润和取得最大利润时的产量．
（3）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（0≤x≤99，x∈N）．边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；说明生产第一台的利润差最大；生产62台时，利润达到最大．
【解析】
（1）由题意，x=0，b=4000，
所以C（x）=500x+4000，
P（x）=R（x）-C（x）=3000x-20x2-500x-4000
=-20x2+2500x-4000，0≤x≤100．
（2）P（x）=，（0≤x≤100，x∈N）
所以x=62或x=63．
P（x）max=P（62）=P（63）=74120（百元）．
（3）MP（x）=P（x+1）-P（x）=-40x+2480（0≤x≤99，x∈N）
边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；
当x=0时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；
当x=62时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大．