Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx；
（Ⅰ）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁、x₂，求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）这个方程为绝对值方程，可以利用绝对值的代数意义去绝对值符号，再分情况解一元二次方程即可，最后方程的解集为两种情况的并集．
（Ⅱ）先根据绝对值的代数意义，把函数f（x）化为分段函数，根据函数在（0，1）上的解析式为一次函数，可判断，当x∈（0，1]时，f（x）为单调函数，所以与x轴的交点至多有一个，即f（x）=0在（0，1]上至多一个解．而当方程f（x）=0的两个解若都在（1，2）上，则x1x2=-，与两根都属于（1，2）矛盾，所以判断方程f（x）=0在（0，2）上的两个解x1、x2，一个在（0，1]，一个在（1，2）再根据两种情况的解析式求出k值，解出范围，最后，两种情况求出的k的范围取交集．
（I）【解析】
当k=2时，f（x）=|x2-1|+x2+2x=0．
①当x2-1≥1时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x2+2x-1=0，解得x=．
②当x2-1＜0时，即-1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得x=-，
由①②得，方程f（x）=0的解为或x=
（II）【解析】
不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为f（x）=
所以f（x）在（0，1]是单调递函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若x1，x2∈（1，2），则x1x2=-∈（1，2）．
由f（x1）=0，得k=-，所以k≤-1；
由f（x2）=0，得k=＜k＜-1．
故当-＜k＜-1时，f（x）=0在（0，2）上有两个解．