Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B-AB₁-D的大小．

Answer

（I）欲证A1C∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面A1ABB1内一直线平行，连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE，根据中位线定理可知DE∥A1C，DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，满足定理所需条件；
（II）作DF⊥AB于点F，作FG⊥AB1于点G，连接DG，根据二面角平面角的定义可知∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角，
在Rt△DFG中，求出二面角B-AB1-D的大小即可．
（I）证明：
连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，且AA1=AB，
∴四边形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中点，
又D是BC的中点，
∴DE∥A1C．
∵DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．

（II）【解析】
在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG．
∵平面A1ABB1⊥平面ABC，∴DF⊥平面A1ABB1，
∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，∵FG⊥AB1，∴DG⊥AB1
∴∠FGD是二面角B-AB1-D的平面角
设A1A=AB=1，在正△ABC中，DF=．
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B-AB1-D的大小为．