Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c为非零常数，n∈N^*），a₁、a₂、a₃组成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）记数列的前n项和为S_n，求证．

Answer

（Ⅰ）由题意，知a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，由a1，a2，a3成等比数列，能求出c的值．
（Ⅱ）当n≥2时，a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，所以an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]c=，所以，an=n2-n+2（n∈N+），．由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ）由题意，知a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴（2+c）2=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）当n≥2时，
∵a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，
∴an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]c
=，
∵a1=2，c=2，
∴an=2+n（n-1）=n2-n+2（n≥2，n∈N+），
当n=1时，上式也成立，
所以，an=n2-n+2（n∈N+），
∴．
当n-1时，，
当n≥2时，由=，
得
=，
∴．