Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC的中点，AB=2AD．
（Ⅰ）求证DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系：过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点，由平面PDC丄平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，用坐标表示向量，进而证明，从而得证；
（Ⅱ）分别求出平面PAB、平面PAD的一个法向量，再利用数量积公式求夹角．
【解析】
（Ⅰ）过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点
∵平面PDC丄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD
建立如图所示的直角坐标系，设AD=2，则AB=4
∴
∴
∴，∴
∴DE丄MN；
（Ⅱ）设为平面PAB的一个法向量，而
由得
∴
又设为平面PAD的一个法向量，而
由得
∴
∴
从而可知，二面角B-PA-D的余弦值为