Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小．

Answer

解法一：（Ⅰ）由图形知，可先证CD垂直于PA，由PA∥EF，即可得出结论；
（Ⅱ）G是AD的中点，取PC的中点H，连接DH，可得出DH∥GF，先证DH⊥平面PCB．即可得结论GF⊥平面PCB；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小，由题设，令底面边长为a，BD易求，由图形结构知，可用等体积法求出B到面DEF的距离，由此线面的正弦求得．
解法二：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，给出各点的坐标
（Ⅰ）求出两直线的方向向量的坐标，用内积为0证之；
（Ⅱ）设G（x，0，z），由题意必是平面的法向量，故与平面的向量内积为0，由此得方程，求出参数的值，发现在点G的位置．
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小，求出直线DB的方向向量与平面DEF的法向量，由公式求出即可．
【解析】
法一（Ⅰ）由题意，如图可得EF∥PA，∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形∴CD⊥面PAD
∴CD⊥PA，∴EF⊥CD
（Ⅱ）答：G是AD的中点．
取PC的中点H，连接DH.，∴，∴BC⊥DH，∴，∴
∴GF⊥平面PCB．
（Ⅲ）设B到平面DEF的距离为d，下用等体积法求d
.
，∴，
∴
∵BD=a
∴DB与平面DEF所成角的正弦为=，∴DB与平面DEF所成角arcsin
法二：
以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则
D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、、P（0，0，a）．
（Ⅰ），
∴EF⊥DC．
（Ⅱ）设G（x，0，z），则G∈平面PAD．

（Ⅲ）设平面DEF的法向量为．