Question

直三棱柱中，AB=AC=1，AA₁=2，∠B₁A₁C₁=90°，BD=DB₁
（1）求证：AD⊥平面A₁DC₁
（2）求异面直线C₁D，A₁C所成角的余弦．

Answer

（1）由A1B1⊥A1C1，知AD⊥A1C1，由∠ADB=∠A1DB1=45°，知AD⊥A1D，由此能够证明AD垂直平面A1DC1．
（2）以A1C1，A1B1，A1A分别为x，y，z轴建立坐标系．则A1（0，0，0），C1（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1），=（-1，1，1），=（1，0，2），=1．由向量法能够求出异面直线C1D，A1C所成角的余弦．
【解析】
（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
AD在平面A1B1C1的投影为A1B1，因为A1B1⊥A1C1，
所以AD⊥A1C1，
在矩形ABB1A1中，∠ADB=∠A1DB1=45°，
所以∠ADA1=90°，所以AD⊥A1D，
所以AD垂直平面A1DC1．
（2）以A1C1，A1B1，A1A分别为x，y，z轴建立坐标系．
则A1（0，0，0），C1（1，0，0），C（1，0，2），D（0，1，1）
则=（-1，1，1），=（1，0，2），=1
||=，||=，
设异面直线C1D，A1C所成角为α，
cosα=|=．