Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b
（1）设E、F分别为AB₁、BC₁的中点，求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：AC⊥AB；
（3）求四面体B₁ABC₁的体积．

Answer

（1）由题意得，EF是三角形 BA1C1的中位线，可得EF∥A1C1，EF∥AC，从而证得EF∥平面ABC．
（2）先证明AB1⊥平面A1BC1 ，可得 AB1⊥AC，又由 BB1⊥AC得到AC⊥平面ABB1A1，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，求得AC的值，点A到BC的距离h，利用四面体B1ABC1的体积等于，求得结果．
【解析】
（1）证明：由题意得，EF是三角形 BA1C1的中位线，
∴EF∥A1C1，EF∥AC．
而AC⊂平面ABC，EF不在平面ABC内，∴EF∥平面ABC．
（2）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，
故ABB1A1 为正方形，∴AB1⊥A1B．
这样，AB1 垂直于平面A1BC1内的两条相交直线BC1和A1B，
∴AB1⊥平面A1BC1 ，得到 AB1⊥A1C1 ，∴AB1⊥AC．
又由 BB1⊥AC得到AC⊥平面ABB1A1，故 AC⊥AB．
（3）Rt△ABC中，AC==，
故点A到BC的距离h==，
故四面体B1ABC1的体积等于==．