Question

已知函数是f（x）图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若，其中n∈N^*，n≥2令，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．
（3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{a_n}，使得，且？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设P点坐标为，由已知的向量关系得出x1+x2=1，利用对数运算即可求得y1+y2为定值；
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1．得出，下面对n进行分类讨论：当n≥2时，当n=1时，得到：再利用数列求和得出Tn，结合Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立结合基本不等式即可求得m的取值范围；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在数列{an}满足条件，再利用等差数列的性质，求出an的长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）设P点坐标为，由已知可得，则，
∴x1+x2=1=
（2）由（1）知当x1+x2=1时，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1.，①，②，
∴2Sn=n-1，故
当n≥2时，．
又当n=1时，，所以
故
∵Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立．
∴，而（当且仅当n=2时等号成立）
∴，即m的取值范围是
（3）假设存在数列{an}满足条件，则，
即，∴是以为首项，-1为公差的等差数列，
于是，∴，注意到
∴当a＞3时，存在这样的有穷数列{an}；当1＜a≤3时，不存在这样的数列．