Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=2ⁿ（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}通项a_n
（2）数列的前n项和为S_n，若3（1-ka_n）≤S_n•a_n对任意n∈N^*恒成立，求k的最小值．．

Answer

（1）由a1=1，anan+1=2n，令n=1，求得a2的值，anan+1=2n，得anan-1=2n-1，两式相比，即得=2，从而求得数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，故求数列{an}通项；
（2）分别求得Sn=-3，n为奇数；Sn=3（-1），n为偶数；再利用分离参数法，考查相应函数的单调性，求出相应的最值，从而求出参数的范围．
【解析】
（1）∵anan+1=2n∴anan-1=2n-1，两式相比，∴=2，∴数列{an}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列
∴an=，n为奇数；an=，n为偶数；
（2）Sn=-3，n为奇数；Sn=3（-1），n为偶数；
当n为奇数时，，3（1-kan）≤Sn•an
3（1-kan）≤（-3）an，
∴k≥
∴K≥-（-1）=-•+1
F（n）=-•+1单调递减；F（1）=最大；K≥
当n为偶数时，3（1-kan）≤Sn•an
3（1-kan）≤3（-1）an∴k≥=-+1
F（n）=-+1单调递减，所以n=2时F（2）=-0.5
K≥-0.5
综合上面可得k