Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和，证明：．

Answer

设数列的公比为q，当q=1时则Sn=na1，代入Sn，Sn+2，Sn+1，再根据对数函数的单调性得证，当≠1时把等比数列的求和公式代入Sn，Sn+2，Sn+1，再根据对数函数的单调性得证．
证明：设{an}的公比为q，由题设知a1＞0，q＞0，
（1）当q=1时，Sn=na1，从而
Sn•Sn+2-Sn+12=na1（n+2）a1-（n+1）2a12=-a12＜0．
（2）当q≠1时，，从而
Sn•Sn+2-Sn+12==-a12qn＜0．
由（1）和（2）得Sn•Sn+2＜Sn+12．
根据对数函数的单调性，得log0.5（Sn•Sn+2）＞log0.5Sn+12，
即．