Question

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l₁、l₂．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线l₁、l₂互相垂直；
（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等满足抛物线的定义，可直接得到曲线C的方程．
（2）根据（1）中方程求出焦点坐标，然后设直线方程为y=kx+1，联立直线与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之积，再对抛物线方程进行求导得到直线l1、l2的斜率，再由k1k2=-1可得证．
（3）先假设y轴上存在一点R满足条件，，再表示出kAR和kBR代入到kAR+kBR=0中，再由（2）中的两根之和与两根之积可得到R的坐标．
【解析】
（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，
∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x2=4y
（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0，
∴x1x2=-4，又y'=x，
∴直线l1的斜率为k1=x1，直线l2的斜率为k2=x2，
∴k1k2=•x1x2=-1，即直线l1和l2互相垂直．
（3）假设y轴上存在一点R（0，y），使得直线RF始终平分∠ARB，则有kAR+kBR=0
∴
∴x2（y-y1）+x1（y-y2）=0∴y（x2+x1）-（x2y1+x1y2）=0
∴
∴y+1=0∴y=-1，即存在R（0，-1）满足条件．