Question

如图所示，有两条相交成60°的直线xx′、yy′，其交点是O，甲、乙两辆汽车分别在xx′、yy′上行驶，起初甲离O点30 km，乙离O点10 km，后来两车均以60 km/h的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶．
（1）起初两车的距离是多少？
（2）t小时后两车的距离是多少？
（3）何时两车的距离最短？

Answer

（1）先设甲、乙两车最初的位置为A、B，将距离转化为向量问题，然后利用向量的数量积运算求甲乙两车的距离．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，则．利用余弦定理可得即=10km．
（3）由（2）得关于PQ的表达式，通过利用二次函数可探讨其最大值．
【解析】
（1）设甲、乙两车最初的位置为A、B，
则=||2+||2-2||||cos60°=700．
故=km=10km．
（2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为P、Q，
则．
当时，=（30-60t）2+（10+60t）2-2（30-60t）（10+60t）cos60°；
当时，=（60t-30）2+（10+60t）2-2（60t-30）（10+60t）cos120°．
上面两式可统一为=10800t2-3600t+700，
即=10km．
（3）因为=10，
故当t=，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为20km．