Question

已知函数，数列{x_n}满足x₁=，x_n+1=f（x_n）；若b_n=．
（1）求证数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer

（1）先由f（x）的式子给出xn+1的表达式，然后由bn的式子给出bn+1的表达式，再用等比数列的定义证出是一个常数，最后由等比数列的通项公式给出bn的表达式；
（2）用作差的方法得到一个关于λ和n的不等式，根据变量n的奇偶性将不等式分为两种情况进行讨论，得出λ的范围，最后从所得范围中找出λ的整数值．
【解析】
（1）由已知，，
∴=-2，（4分）
∴{bn}是等比数列，且q=-2；又，∴bn=（-2）n．（6分）
（2）要使cn+1＞cn恒成立，
即要cn+1-cn=[3n+1-λ（-2）n+1]-[3n-λ（-2）n]=2•3n+3λ（-2）n＞0恒成立，
即要恒成立．下面分n为奇数、n为偶数讨论：（8分）
①当n为奇数时，即恒成立．又的最小值为1．∴λ＜1．
②当n为偶数时，即恒成立，又的最大值为-，∴λ＞-．
综上，，又λ为非零整数，
∴λ=-1时，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．（14分）