Question

如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．

Answer

（I）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．
（II）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．
（III）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．
证明：（I）∵D，E分别为AP，AC的中点，
∴DE∥PC，
∵DE⊄平面BCP，
∴DE∥平面BCP．
（II）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF
∴四边形DEFG为平行四边形，
∵PC⊥AB，
∴DE⊥DG，
∴四边形DEFG为矩形．
（III）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点，
由（II）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，
与（II）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，
且QM=QN=EG，
∴Q为满足条件的点．