Question

如图，为半圆，为半圆直径，为半圆圆心，且，为线段的中点，已知，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.

(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

(II)过点的直线与曲线交于两点，与所在直线交于点，，证明：为定值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据题意建立适当的坐标系，以为坐标原点，因为的值不变，所以会想到椭圆的定义，根据椭圆的定义，需要知道的值，易知，故椭圆的基本量就能很快求出，从而求出最终椭圆的标准方程.（2）圆锥曲线与向量的综合，最好使用点的坐标表示，可以根据题意设出的坐标，利用，的关系，反求出（含）的坐标代入到椭圆方程中，得到，，可见是方程的两个根，故.还可以利用联立方程组的方法，但稍微复杂一点，具体过程见解答.

试题解析：（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系.

因为动点在曲线上运动且保持的值不变，而点也在曲线上，

所以，满足椭圆的定义，

故曲线是以原点为中心，为焦点的椭圆.

则，，

所以曲线的标准方程为

（2）

解法一：设而不求法

设的坐标分别为，则

，

带入到得

化简，得

同理由，得

是方程的两个根

解法二：联立方程组法

设点的坐标分别为，

易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线  的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线  的方程是

将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得

．

∴ ，

又 ∵， 则．∴，

同理，由，∴

∴ .

考点：1.圆锥曲线的定义，标准方程的求解；2.向量与圆锥曲线的综合性问题.