Question

已知动圆C经过点，且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E.

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）过点的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为时，求直线m的方程.

Answer

（Ⅰ）x2＝2y；（Ⅱ）直线m的方程为y＝±x＋．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值；（Ⅱ）利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程，然后将三角形面积进行表示，其底边用弦长公式进行表示，高用点到直线的距离进行表示，得到含有直线m的斜率k的等式.

试题解析：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝．

依题意，r2－y2＝1，即x2＋(y－1)2－y2＝1，

整理得曲线E的方程为x2＝2y．                                                                                …4分

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝，y2＝．

设直线m方程为y＝kx＋，代入曲线E方程，得

x2－2kx－1＝0，则x1＋x2＝2k．                                                                               …6分

对y＝x2求导，得y¢＝x．

于是过点A的切线为y＝x1(x－x1)＋，即y＝x1x－．                       ①

由①同理得过点B的切线为y＝x2x－．                                                                 ②

设C(x0，y0)，由①、②及直线m方程得

x0＝＝k，y0＝x1x0－＝－．                                                                    8分

M为抛物线的焦点，y＝－为抛物线的准线，由抛物线的定义，得

|AB|＝y1＋＋y2＋＝k(x1＋x2)＋2＝2(k2＋1)．

点C到直线m的距离d＝＝．                                               10分

所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k2＋1)．

由已知(k2＋1)＝2，有且仅有k＝±1．

故直线m的方程为y＝±x＋．                                                                             12分

考点：1.轨迹方程；2.抛物线的切线；3.三角形面积公式.