Question

如图，直三棱柱中，，，D是AC的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求几何体的体积.

Answer

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线线平行证明线面平行，抓住直线PD∥B1A达到证明AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）采用体积分割技巧，将所求的几何体转化为直三棱柱的体积简单两个三棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点P，连接PD．

由于BB1C1C是平行四边形，所以P为为B1C的中点

因为D为AC的中点，所以直线PD∥B1A，

又PDÌ平面B1CD，B1AË平面BC1D，

所以AB1∥平面BC1D．                                                                                                 6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A1B1C1的体积V1＝×2×2×2＝4．

三棱锥C1－BDC的体积V2与三棱锥A1－BDA的体积V3相等，

V2＝V3＝×××2×2×2＝．

所以几何体BDA1B1C1的体积V＝V1－V2－V3＝．                                              12分

考点：1.平行关系的证明与判断；2.几何体的体积.