Question

已知函数．

（1）若在定义域上为增函数，求实数的取值范围；

（2）求函数在区间上的最小值．

Answer

（1）；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）将函数在定义域上为增函数转化为不等式在定义域上恒成立的问题去处理，并借助参数分离法求参数的取值范围；（2）对的范围进行分类讨论，确定函数在上的单调性，进而确定函数在上的最小值。

试题解析：（1）因为函数，

所以函数的定义域为．                          1分

且．                                 2分

若在定义域上是增函数，

则在上恒成立．                      3分

即在上恒成立，所以．                       4分

由已知，

所以实数的取值范围为．                          5分

（2）①若，由（1）知，函数在区间上为增函数．

所以函数在区间上的最小值为．                   6分

②若，由于，

所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．         7分

（ⅰ）若，即时，，

函数在区间上为增函数，

所以函数在的最小值为．                      9分

（ⅱ）若，即时，

函数在区间为减函数，在上为增函数，

所以函数在区间上的最小值为．              11分

（ⅲ）若，即时，，

函数在区间上为减函数，

所以函数在的最小值为．                  13分

综上所述，当且时，函数在区间上的最小值为．

当时，函数在区间的最小值为．

当时，函数在区间上的最小值为．      14分

考点：分离参数法解决不等式恒成立问题，分类讨论法求函数的最值