Question

在等差数列中，，，记数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数、，且，使得、、成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在，且，.

【解析】

试题分析：（1）将等差数列中的相应式子转化为首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式即可求出等差数列的通项公式；（2）先将数列的通项公式结构选择裂项求和法求数列的前项和，然后根据条件列式，利用正整数的一些相关性质列不等式求出、的值.

试题解析：（1）设等差数列的公差为，

因为即                           2分

解得                                     3分

所以．

所以数列的通项公式为．                    4分

（2）因为，                  5分

所以数列的前项和

．                             7分

假设存在正整数、，且，使得、、成等比数列，

则．                                   8分

即．                              9分

所以．

因为，所以．

即．

因为，所以．

因为，所以．                             12分

此时．                            13分

所以存在满足题意的正整数、，且只有一组解，即，．          14分

考点：等差数列的通项公式，裂项求和法，数列的存在性问题.