Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；

(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.

Answer

(1) ; (2)定值是4,详见解析;

(3)存在, 的坐标为,的面积为.

【解析】

试题分析：(1)根据椭圆的焦点、离心率和的关系求出椭圆标准方程中的;(2)先设，求出直线的方程，并求出它们与轴的交点的坐标，建立三点坐标的关系，然后利用在椭圆上，从而把中的消去得到定值; (3)先假设存在点，则有直线与圆相交，进而写出的面积函数，发现利用基本不等式可以求出函数的最大值，故假设存在,再求出取得最大值时点的坐标.

试题解析：【解析】
（1）由题意：，解得：              3分

所以椭圆                                 4分

(2) 由（1）可知,设,              

直线:,令,得;               5分

直线:,令,得;               6分

则,                           7分

而,所以,

所以              8分

(3)假设存在点满足题意，则，即

设圆心到直线的距离为，则，且     9分

所以              10分

所以        11分

因为，所以，所以

所以  12分

当且仅当，即时，取得最大值

由，解得        13分

所以存在点满足题意，点的坐标为

此时的面积为                    14分

考点：1、椭圆的标准方程，、2解析法，3、直线与圆相交问题.