Question

如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，．

(1)证明：；

(2)证明：；

(3)求四棱锥与圆柱的体积比.

Answer

(1)详见解析; (2) 详见解析; (3) .

【解析】

试题分析：(1)证明线面平行，可证线线平行，所以通过证明四边形是平行四边形可知，从而证得.(2)证明面面垂直，可证线面垂直，所以通过证明，而，从而证得.(3)关键是求四棱锥的高，通过证明找到就是棱锥的高，再分别利用圆柱和棱锥的体积公式计算.

试题解析：（1）证明：连结，.分别为的中点，∴.

又，且.∴四边形是平行四边形，

即. ∴.        4分

(2) 证明：、为圆柱的母线，所以且，即，又是底面圆的直径，所以，，所以由，所以，，

所以  9分

（3）【解析】
由题，且由（1）知.∴，∴ ，∴. 因是底面圆的直径，得，且，

∴，即为四棱锥的高．设圆柱高为，底半径为，

则，∴：.       14分

考点：1、线面平行的证明，2、面面垂直的证明，3、柱体和锥体的体积计算.