Question

已知函数,，其中R.

（1）讨论的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）在上单调递减，在上单调递增;（2）;（3）.

【解析】

试题分析：（1）先对求导，由于的正负与参数有关，故要对分类讨论来研究单调性; （2）先由在其定义域内为增函数转化为在不等式中求参数范围的问题，利用分离参数法和基本不等式的知识求出参数的取值范围;（3）先通过导数研究在的最值，然后根据命题“若，，总有成立”分析得到在上的最大值不小于在上的最大值，从而列出不等式组求出参数的取值范围.

试题解析：【解析】
（1）的定义域为，且，        1分

①当时，，在上单调递增；        2分

②当时，由，得；由，得；

故在上单调递减，在上单调递增.     4分

（2），的定义域为

               5分

因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，所以            8分

（3）当时，，

由得或

当时，；当时，.

所以在上，        10分

而“，，总有成立”等价于

“在上的最大值不小于在上的最大值”

而在上的最大值为

所以有                   12分

所以实数的取值范围是         14分

考点：1、利用导数研究单调性和最值，2、参数的取值范围问题，3、基本不等式.