Question

已知函数.

（Ⅰ）求函数的极大值.

（Ⅱ）求证：存在，使；

（Ⅲ）对于函数与定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得和都成立，则称直线为函数与的分界线.试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】（Ⅰ）由求函数递增区间，求函数递减区间，即可求极大值；（Ⅱ）构造新函数，证得函数在上存在极值点即可；3.先寻找函数的“分界线”函数，再分别证明和都成立.

试题分析：

试题解析：（Ⅰ）              （1分）

令解得

令解得.                    （2分）

∴函数在内单调递增，在上单调递减.      （3分）

所以的极大值为                 （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在内单调递增，在上单调递减，

令

∴                   （5分）

取则

             （6分）

故存在使即存在使

                  （7分）

（说明：的取法不唯一，只要满足且即可）

（Ⅱ）设

则

则当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

∴是函数的极小值点，也是最小值点,

∴

∴函数与的图象在处有公共点.   （9分）

设与存在“分界线”且方程为，

令函数

①由≥，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，

即，

∴，故               （11分）

②下面说明：，

即恒成立.

设

则

∵当时，,函数单调递增，

当时，,函数单调递减，

∴当时，取得最大值0，.

∴成立.               （13分）

综合①②知且

故函数与存在“分界线”，

此时                   （14分）

考点：1.求函数的极值；2.判函数的单调性；3.构造新函数.