Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用转化为二次函数求最值，求得相应值；（Ⅱ）先由点P在椭圆上建立实数与直线的斜率之间的关系，再由求得的范围，进而求得实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）∵ ∴          （1分）

则椭圆方程为即

设则

        （2分）

当时，有最大值为          （3分）

 解得∴，椭圆方程是        （4分）

（Ⅱ）设方程为

由

整理得.            （5分）

由，得.

               （6分）

∴

则,

         （7分）

由点P在椭圆上，得

化简得①                  （8分）

又由

即将，代入得

             （9分）

化简，得

则,                     （10分）

∴②

由①，得

联立②，解得∴或      （12分）

考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.