Question

已知函数，，其中为常数，  ，函数的图象与坐标轴交点处的切线为，函数的图象与直线交点处的切线为，且。

（Ⅰ）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.

（Ⅱ）对于函数和公共定义域内的任意实数。我们把 的值称为两函数在处的偏差。求证：函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用参数分离法将不等式问题转化为，等价转化为处理，于是问题的核心就是求函数，利用导数求解，但同时需要注意题中的隐含条件将的值确定下来；（Ⅱ）先确定函数与函数的解析式，然后引入函数，通过证明，进而得到

，得到，于是就说明原结论成立.

试题解析：解（Ⅰ）函数的图象与坐标轴的交点为，

又  

函数的图象与直线的交点为，

又 

由题意可知，

又，所以               3分

不等式可化为

即

令，则，

又时，，，

故，在上是减函数

即在上是减函数

因此，在对任意的，不等式成立，

只需

所以实数的取值范围是               8分

（Ⅱ）证明：和的公共定义域为，由（Ⅰ）可知，

令，则，

在上是增函数

故，即             ①

令，则，

当时，；当时，，

有最大值，因此     ②

由①②得，即

又由①得

  由②得

故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2              13分

考点：函数图象的切线方程、参数分离法、函数不等式