Question

已知函数(x∈R)．

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线x＝1对称，证明当x＞1时，．

Answer

(1) f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．故函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝ (2)见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）根据已知函数求解导数，结合导数的 符号与单调性的关系得到单调区间。

（2）构造函数由题意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)ex－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)ex－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.

当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x－2－1＞0.

又e－x＞0，

结合单调性得到结论。

【解析】
(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，

解得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．

故函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝.

(2)证明：由题意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)ex－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)ex－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.

当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x－2－1＞0.

又e－x＞0，

所以F′(x)＞0，从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．

又F(1)＝e－1－e－1＝0，

所以x＞1时，有F(x)＞F(1)＝0，

因此，当x＞1时，f(x)＞g(x)．