Question

(本小题满分12分)设，

（Ⅰ）求的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论与的大小关系；

（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。

Answer

（Ⅰ）（0，1）是的单调减区间

（1，+∞）是的单调递增区间

最小值为

（Ⅱ）

（Ⅲ）

【解析】本试题主要考查导数在研究函数中的运用。

（1）中求解函数g(x)的导数 ，令导数大于零和导数小于零，得到单调区间和最值。

（2）构造函数，利用导数判定函数单调性，从而确定最值问题，得到结论。

（3）中由（I）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立等价转化思想得到。

解（Ⅰ）由题设知，

∴令0得=1，

当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。

当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为   6分

（II）

设，则，

当时，即，

当时，

因此，在内单调递减，

当时，

即

当

（III）由（I）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立

即从而得。   12分