Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….

(1)求a₁，a₂；

(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明．

Answer

(1) a1＝. a2＝ 

(2)猜想Sn＝，n＝1,2,3，….

【解析】(1)先令n=1，则s1-1即a1-1是方程的一个根，因而建立关于a1的方程求出a1的值.同理再利用n=2时，求出a2.

(2)由条件可知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0,化简得S－2Sn＋1－anSn＝0,

然后利用n≥2时，an＝Sn－Sn－1,把an代入上式，消去an,就找到了sn与sn-1之间的递推关系，求出s1,s2,s3,然后观察规律，归纳出sn,再利用数学归纳法证明即可

(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝ 

(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，S－2Sn＋1－anSn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.

由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….

下面用数学归纳法证明这个结论．

(i)n＝1时已知结论成立．

(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．

综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．