Question

已知(－)ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；

(2)求展开式中所有有理项．

Answer

（1）见解析     (2) T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.

【解析】(1)本小题利用展开式的通项，只要说明x的系数不可能等于零即可.在具体证明时可采用反证法.

(2)根据展开式的通项公式，让x的系数为整数，看有哪些项即可

依题意，前三项系数的绝对值是1， ()， ()2，

且2·＝1＋ ()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，

∴展开式的第k＋1项为 ()8－k(－)k

＝(－)k·x·x－＝(－1)k··x.

 (1)证明：若第k＋1项为常数项，

当且仅当＝0，即3k＝16，∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．

(2)若第k＋1项为有理项，当且仅当为整数，∵0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，

即展开式中的有理项共有三项，它们是：T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.