Question

已知．经计算得，，，，，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．

（1）试写出这个一般性的结论；

（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；

（3）对任一给定的正整数，试问是否存在正整数，使得？

若存在，请给出符合条件的正整数的一个值；若不存在，请说明理由．

Answer

见解析

【解析】(1)观察规律2,4,8,16,…,; ,所以.

(2)用数学归纳法证明时要分两个步骤：一是先验证：当n=1时，不等式成立；二是先假设n=k时，不等式成立，再证明当n=k+1时，命题也成立，但一定要用上n=k时的归纳假设.

(3)令,当n=2a时，符合要求.所在存在

（1）（当且仅当时取等号）………4分

（2）证明：（数学归纳法）

 当时，显然成立

 假设当时成立，即……………………6分

当时，左边

右边

即当时，也成立．………………………10分

由知，成立．…………………………12分

（3）存在……………………………………13分

可取……………………………16分

注：答案不唯一