Question

已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；

（1）求椭圆的离心率；

（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（1）由，得直线的倾斜角为，

则点到直线的距离，

故直线被圆截得的弦长为，

直线被圆截得的弦长为，                  （3分）

据题意有：，即，                       （5分）

化简得：，

解得：或，又椭圆的离心率；

故椭圆的离心率为．（7分）

（2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为；

当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截；

故可设直线的方程为，

则点到直线的距离，

由（1）有，得=，

故直线被圆截得的弦长为，                         （9分）

则点到直线的距离，

，故直线被圆截得的弦长为，                （11分）

据题意有：，即有，整理得，

即，两边平方整理成关于的一元二次方程得

，                  （13分）

关于的方程有无穷多解，

故有：，

故所求点坐标为（－1，0）或（－49，0）．                            （16分）

（注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分）

【解析】略