Question

 已知数列{a_n}满足a_n+1=.

(Ⅰ)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点,求a_n+1=f(a_n)的不动点的值；

(Ⅱ)若a₁=2,b_n=,求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项．

(Ⅲ)当任意nÎN*时，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n<

Answer

 (Ⅰ)【解析】
由方程an+1=f(an)得an=,

解得an=0,或an=−1,或an=1    .……2分

(Ⅱ) 【解析】
∵an+1+1=+1=

an+1−1=−1=

两式相除得=,即bn+1=bn3,

由a1=2可以得到bn>0,则bn+1=3bn,

又b1==,得b1=−3,

数列{bn}是以−3为首项,3为公比的等比数列.

∴bn=(−3)·3n−1=(),

从而bn=() (nÎN*).    ……8分]

(Ⅲ)证明：任意nÎN*,3n−1³n, ∴bn=()£()n,

从而b1+b2+b3+…+bn<+()2+()3+…+()n==[ 1−()n]<.  ……12分