Question

 设二次函数f(x)=mx²+nx+t的图像过原点,g(x)=ax³+bx−3(x>0),f(x), g(x)的导函数为,g¢(x),且=0, =−2,f(1)=g(1), =g¢(1).

(Ⅰ)求函数f(x),g(x)的解析式；

(Ⅱ)求F(x)=f(x)−g(x)的极小值；

(Ⅲ)是否存在实常数k和m,使得f(x)³kx+m和g(x)£kx+m成立?若存在,求出k和m的值；若不存在,说明理由.

Answer

 解 ：(Ⅰ)由已知得t=0,=2mx+n,

则=n=0, =−2m+n=−2,从而n=0, m=1,

∴f(x)=x2. 

则=2x,  g¢(x)=3ax2+b.

由f(1)=g(1), =g¢(1)得a+b−3=2,3a+b=2,解得a=−1,b=5,

∴g(x)=−x3+5x−3(x>0)  ……4分

(Ⅱ)∵F(x)=f(x)−g(x)=x3+x2−5x+3(x>0),

求导数得F¢(x)=3x2+2x−5=(x−1)(3x+5)

∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+¥)单调递增,从而F(x)的极小值为F(1)=0.  ……8分

(Ⅲ)因 f(x)与g(x)有一个公共点(1,1),而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x−1.

下面验证都成立即可.

由(x−1)2=x2−2x+1³0,得x2³2x−1,知f(x)³2x−1恒成立.

设h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)= −x3+3x−2(x)>0,

求导数得h¢(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)(x>0),

∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+¥)上单调递减,所以h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)的最大值为h(1)=0,

所以−x3+5x−3£2x−1,即g(x)£2x−1恒成立.

故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=−1    ……12分