Question

已知数列{a_n}中，a₁＝，点（n，2a_n＋1－a_n）（n∈N^*）在直线y＝x上，

   （Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；

   （Ⅱ）令b_n＝a_n＋1－a_n－1，求证：数列{b_n}是等比数列；

   （Ⅲ）设S_n、T_n分别为数列{a_n}、{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

 解析 : （Ⅰ）由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，

同理a3＝，a4＝．                                             （3分）

（Ⅱ）因为2an＋1－an＝n，

所以bn＋1＝an＋2－an＋＝－an＋＝，

b­n＝an＋1－an－1＝an＋1－（2an＋1－n）－1＝n－an＋＝2bn＋1，即＝

又b1＝a2－a＝－，所以数列{bn}是以－为首项，为公比的等比数列．

（Ⅲ）由（2）得，bn＝－×（）＝－3×（），

Tn＝＝3×（）－．

又an＋1＝n－1－bn＝n－1＋3×（），所以an＝n－2＋3×（）n，

所以Sn＝－2n＋3×＝＋3－．        （11分）

由题意，记cn＝．要使数列{cn}为等差数列，只要cn＋1－cn为常数．

cn＝＝＝＋（3－λ）×，

cn－1＝＋（3－λ）×，

则cn－cn－1＝＋（3－λ）×（－）．

故当λ＝2时，cn－cn－1＝为常数，即数列{}为等差数列．        （14分）