Question

 已知函数f（x）＝log_a是奇函数（a>0，a≠1）。

   （Ⅰ） 求m的值；

   （Ⅱ） 求f′（x）和函数f（x）的单调区间；

   （Ⅲ） 若当xÎ（1，a－2）时，f（x）的值域为（1，＋¥），求实数a的值。

Answer

 解析：（Ⅰ） 依题意，f（－x）＝－f（x），即f（x）＋f（－x）＝0，

即loga＋loga＝0，

∴∙＝1，m2x＝x，1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1（不合题意，舍去）

当m＝－1时f（x）的定义域为＞0，即xÎ（－¥，－1）∪（1，＋¥），

又有f（－x）＝－f（x），

∴m＝－1是符合题意的解                                               （3分）

（Ⅱ） ∵f（x）＝loga ，

∴f′（x）＝（）′logae＝∙logae＝logae        （5分）

① 若a>1，则logae>0

当xÎ（1，＋¥）时，1－x2<0，∴f′（x）<0，f（x）在（1，＋¥）上单调递减，

即（1，＋¥）是f（x）的单调递减区间；

由奇函数的性质，（－¥，－1）是f（x）的单调递减区间

② 若00，

∴（1，＋¥） 是f（x）的单调递增区间；由奇函数的性质，

（－¥，－1）是f（x）的单调递增区间                                  （8分）

（Ⅲ） 令t＝＝1＋，则t为x的减函数

当xÎ（1，a－2），\d\fo0 ((（1，＋¥），即当13，且tÎ（1＋，＋¥）要使f（x）的值域为（1，＋¥），

需loga（1＋）＝l，解得a＝2＋                    （12分）