Question

已知a∈R，函数f（x）=4x³-2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．

Answer

（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-）（x+），由此可确定f（x）的单调区间；
（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2；当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2，构造函数g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，确定g（x）min=g（）=1-＞0，即可证得结论．
（1）【解析】
求导函数可得f′（x）=12x2-2a
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x2-2a=12（x-）（x+）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-），（，+∞）；单调递减区间为（-，）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2
当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x3+2a（1-x）-2≥4x3+4（1-x）-2=4x3-4x+2
设g（x）=2x3-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-）（x+）

 x  0  （0，）    （，1）
 g′（x）   -   +
 g（x）      极小值  

∴函数g（x）在（0，）上单调减，在（，1）上单调增
∴g（x）min=g（）=1-＞0
∴当0≤x≤1时，2x3-2x+1＞0
∴当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．