Question

如图，已知椭圆的焦点为F₁（1，0）、F₂（-1，0），离心率为，过点A（2，0）的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）①求直线l的斜率k的取值范围；
②在直线l的斜率k不断变化过程中，探究∠MF₁A和∠NF₁F₂是否总相等？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．

Answer

（1）由焦点坐标及离心率可得，再根据b2=a2-c2即可求得a，b，c；
（2）①设直线l的方程为y=k（x-2），与椭圆方程联立方程组，消掉y，由线l交椭圆C于M、N两点可得△＞0，解出即得k的范围．②设M（x1，y1），N（x2，y2），tan∠MF1A-tan∠NF1F2=，通分然后利用韦达定理可证tan∠MF1A-tan∠NF1F2=0，即tan∠MF1A=tan∠NF1F2，再由两角范围即可证明两角相等；
【解析】
（1）由已知条件知，，解得，
又b2=a2-c2=1，
所以椭圆C的方程为；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），
联立，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2=2=0，①
由于直线l与椭圆C相交，
所以△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，
解得直线l的斜率k的取值范围是；
②∠MF1A和∠NF1F2总相等．
证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
所以tan∠MF1A-tan∠NF1F2====，
所以tan∠MF1A=tan∠NF1F2，又∠MF1A和∠NF1F2均为锐角，
所以∠MF1A=∠NF1F2．