Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，异面直线AD₁与BC所成角为45°．
（1）求证：AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）求直线DD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer

（1）要证AC⊥平面CC1D1D，易知AC⊥D1D，所以只需证明AC⊥CD，运用勾股定理计算可证；
（2）由（1）知AC⊥平面CC1D1D，则在平面CC1D1D内作DH⊥CD1，易证DH⊥平面ACD1，则∠DD1C即为直线DD1与平面ACD1所成角，通过解直角三角形即可求得其正弦值；
【解析】
（1）由已知得，D1D⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以 AC⊥D1D，
又∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，
所以，
所以，
又CD∩DD1=D，
故AC⊥平面CC1D1D；
（2）因为BC∥AD，
所以∠D1AD为异面直线AD1与BC所成角，即为45°，
又D1D⊥AD，
所以D1D=AD=2，
过点D作DH⊥CD1，交CD1于点H，
由（1）知，AC⊥DH，又AC∩CD1=C，
所以DH⊥平面ACD1，
故∠DD1C是直线DD1与平面ACD1所成角，记为θ，
在Rt△D1DC中，，
所以；