Question

已知函数定义域为(),设.

（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（2）求证:；

（3）求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的

 的个数

Answer

 解: (Ⅰ)因为………………2分

由；由,所以在上递增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则       …………4分

(Ⅱ)证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值                                            ……………………………6分

 又,所以在上的最小值为

 从而当时,,即  ……………………………………………9分

（Ⅲ）证:因为,     即为,

   令,从而问题转化为证明方程=0

在上有解,并讨论解的个数            …………………………………………11分

 因,,

所以 ①当时,,

所以在上有解,且只有一解          ………………………………13分

②当时,,但由于,

所以在上有解,且有两解       ………………………………………14分

③当时,,所以在上有仅有一解；

当时,,

所以在上也有且只有一解           ………………………………15分

综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

且当时,有唯一的适合题意；

当时,有两个适合题意                     …………………………16分