Question

如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P

（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为_________；②∠APC的度数为_______________

（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明

（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD=∠BCE=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE=BD交于点P，则线段AE与BD的关系为________________

Answer

（1）AE=BD．∠APC=60°；（2）成立，见详解；（3）AE=BD

【解析】

（1）观察猜想：①证明△ACE≌△DCB（SAS），可得AE=BD，∠CAE=∠BDC；

②过点C向AE，BD作垂线，由三角形全等可得高相等，再根据角分线判定定理，推出PC平分∠APB，即可求出∠APC的度数；

（2）数学思考：结论成立，证明方法类似；

（3）拓展应用：证明△ACE≌△DCB（SAS），即可得AE=BD.

【解析】
（1）观察猜想：结论：AE=BD．∠APC=60°．

理由： ①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

②由①得∠EAC=∠BDC，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠APB=∠AOC+∠EAC=180°-60°= 120°．

过过点C向AE，BD作垂线交于点F与G

∵由①知△ACE≌△DCB

∴CF=CG

∴CP为∠APB的角平分线

∴∠APC=60°；

（2）数学思考：结论仍然成立．

①∵△ADC，△ECB都是等边三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=60°，CE=CB，
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；

②由①得∠AEC=∠DBC，
∴∠CEA+∠PEB=∠CBD+∠PEB=60°，
∴∠APB=∠CBD+∠CBE+∠PEB=120°．

过过点P向AC，BC作垂线交于点H与I

∵由①知△ACE≌△DCB

∴PH=PI

∴CP为∠APB的角平分线

∴∠APC=60°；

（3）∵△ADC，△ECB都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，∠ACD=∠ECB=90°，CE=CB，

∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠ACD
∴∠ACE=∠DCB
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD.